روش های طرح سوال ریاضی کنکور از معادله درجه دو

معادلۀ درجه دو با اینکه بحث بسیار ساده­ای است اما در برخی موارد حتی سه سوال از سوالات ریاضی کنکور را به خود اختصاص می­دهد. مبحثی بسیار مهم و همواره حاضر در کنکور است.

حل معادلۀ درجه دو

در اصل حل معادلۀ درجه دو، از روش مربع کامل کردن بدست می­آید. اما به طور عادی روش مربع کامل به روش دلتا ساده­سازی شده است که می­توانید آن را از سایت کنکور تی وی با تدریس محمد قاسمی نگاه کنید و تمام نکات تستی آن را یاد بگیرید.

روابط بین ریشه های معادله درجه دو

معادلۀ درجه دو و حل معادلۀ درجه دو یک طرف قصۀ ریاضی کنکور است و روابط میان دو ریشۀ معادلۀ درجه دو یک طرف دیگر داستان ریاضی کنکور است.

در برخی موارد مجموع ریشه­های معادلۀ درجه دو و در برخی موارد ضرب ریشه­های معادله درجه دو را از شما می­خواهند. حتی در برخی موارد قدر مطلق تفاضل دو ریشۀ معادلۀ درجه دو را از شما می­خواهند که براساس فرمول­های مشخصی که بر مبنای ضرایب پشت مجهولات معادلۀ درجه دو قرار دارد، می­توانید آنها را بسازید و به راحتی تست آن را بزنید.

دیدگاه نموداری معادلۀ درجه دو

در دیدگاه نموداری معادلۀ درجه دو، در واقع عبارت درجه دو یک سهمی قائم است.

که اگر محور ایکس­ها را در دو نقطه قطع کند دارای دو ریشۀ ساده است.

اگر بر محور ایکس­ها مماس شود در واقع دارای دو ریشۀ مساوی یا در اصطلاح دارای یک ریشۀ مضاعف است و اگر به نحوی قرار بگیرد که محور ایکس­ها را قطع نکند، در اصطلاح می­گوییم که این معادلۀ درجه دو ریشه ندارد.

پس در حالت کلی، ریشه­های معادله درجه دو در سه حالت قرار می­گیرد. یا دو ریشۀ ساده دارد یا یک ریشۀ مضاعف دارند یا اصلاً ریشه ندارند.

رابطه دلتا با ریشه های معادلۀ درجه دو

براساس فرمول دلتا که ما به واسطۀ آن جواب­های معادلۀ درجه دو را بدست می­آوریم، دلتا عبارتی است که در زیر رادیکال قرار می­گیرد و نباید مقداری منفی شود.

اگر دلتا بزرگتر از صفر باشد مسلماً ما دو ریشۀ متمایز و ساده داریم.

اگر دلتا برابر با صفر باشد یک ریشۀ مضاعف داریم.

اگر دلتا منفی باشد ما در معادلۀ درجه دو مذکور اصلاً ریشه نداریم یا در اصطلاح فنی­تر، معادلۀ درجه دو ما ریشۀ حقیقی ندارد.

طراح ریاضی کنکور چگونه با معادلۀ درجه دو بازی می­کند؟

طراح ریاضی کنکور علاقه شدیدی به ریشه­دار بودن یا بدون ریشه بودن و یا دارای ریشۀ مضاعف بودن معادله درجه دو دارد و معمولاً یکی از ضرایب مجهول را دستمایۀ طرح سوال قرار می­دهد و معمولاً در نهایت شما با حل یک نامعادله باید محدوده­ای برای ضرایب مجهولی که طراح کنکور برای شما در نظر گرفته است بدست بیاورید.

روش دومی که طراح کنکور با معادلۀ درجه دو بازی می­کند این است که تقاطع دو معادله درجه دو را از شما می­خواهد. در این مواقع شما باید این دو معادله را مساوی هم قرار دهید و سپس معادلۀ جدیدی بدست آورید و پس از حل معادلۀ جدید، اعداد بدست آمده در صورتیکه دو ریشه متمایز به شما بدهند؛ یعنی در دو نقطه این دو معادله درجه دو با هم تلاقی دارند.

اگر به شما یک ریشۀ مضاعف بدهند؛ یعنی این دو معادله درجه دو بر هم مماس هستند و اگر پس از حل معادله دلتا منفی شود و هیچ ریشه­ای بدست نیاورید؛ یعنی این دو معادله درجه دو با هم تلاقی ندارند و همدیگر را قطع نمی­کنند.

حل معادله درجه دو با اتحاد جمله مشترک و اتحاد مزدوج

در خیلی از موارد، ما فقط با تسلط بر اتحاد جمله مشترک و اتحاد مزدوج به سادگی بدون استفاده از روش دلتا می­توانیم معادله درجه دو را حل کنیم.

کافیست که ضریب درجه دو با فاکتورگیری یک شود و بعد با آشنایی با اتحاد جمله مشترک به سادگی می­توانیم عبارت درجه دویی که پیش رو داریم را تبدیل به دو پرانتز مجزا نماییم و هر پرانتز به تنهایی به خودی خود یک معادله درجه یک است که جواب مشخصی به ما خواهد داد و چون دو پرانتز داریم پس در واقع دو جواب داریم و در نیمی از تجزیه­های عبارات جبری ، ما از اتحاد جمله مشترک برای تجزیۀ عبارت درجه دو استفاده خواهیم کرد.

منابع بیشتر برای مطالعه :

mathworld.wolfram.com